L’œil, les lentilles convergentes et la formation d’une image
Cours complet construit à partir du cahier : œil, accommodation, lentilles, distance focale, vergence, construction graphique, relation de conjugaison, grandissement et projection type bac.
🎯 Objectifs du chapitre
- Modéliser l’œil par un système optique simple.
- Reconnaître une lentille convergente ou divergente au toucher, à son effet sur un faisceau et à son effet grossissant/réducteur.
- Identifier centre optique, axe optique, foyer objet, foyer image et distance focale.
- Construire l’image d’un objet plan par une lentille convergente.
- Exploiter la vergence, la relation de conjugaison et le grandissement.
- Ne pas apprendre de formules transformées sans démonstration.
- Ne pas oublier que les grandeurs \(\overline{OA}\) et \(\overline{OA’}\) sont algébriques.
- Ne pas oublier les unités : distance focale en m pour la vergence en dioptries.
👁️ I. L’œil
Rétine : écran sur lequel se forme l’image.
Iris + pupille : diaphragme : ils s’ouvrent et se ferment pour contrôler la quantité de lumière.
Cristallin : lentille convergente naturelle : il dévie les rayons lumineux pour qu’ils convergent sur la rétine.
🔎 II. Accommodation de l’œil
Définition : l’accommodation est l’aptitude de l’œil à voir net un objet situé de près ou de loin.
Lorsque l’on regarde un objet proche, le cristallin se bombe sous l’effet des muscles ciliaires : il devient plus convergent et permet aux rayons lumineux de se croiser sur la rétine.
PP : punctum proximum : point le plus proche que l’on peut voir net, environ 25 cm pour un œil normal.
PR : punctum remotum : point le plus éloigné que l’on peut voir net, à l’infini pour un œil normal.
🔭 III. Les lentilles
Une lentille est un morceau de verre taillé ou formé de cristallin.
Lentille convergente
Épaisse au centre et fine sur les bords. Au toucher elle est bombée au centre. Elle grossit le texte. Elle fait converger les rayons lumineux.
Lentille divergente
Fine au centre et épaisse sur les bords. Elle réduit le texte. Les rayons lumineux divergent. En première spécialité, on l’identifie surtout pour comparer.
Centre optique, foyers et distance focale
Le centre optique est noté \(O\). Le foyer objet est noté \(F\). Le foyer image est noté \(F’\). La distance \(OF’\) est la distance focale et se note \(f’\).
Vergence : \(C\) s’exprime en dioptries \(\delta\). Pour utiliser la formule, \(f’\) doit être exprimée en mètre.
✏️ IV. Construction graphique d’une image
On peut trouver la position de l’image connaissant le type de lentille et la position de l’objet par construction graphique.
Le rayon qui passe par le centre optique \(O\) n’est pas dévié.
Le rayon qui arrive parallèle à l’axe optique ressort en passant par \(F’\).
Le rayon qui passe par \(F\) ressort parallèle à l’axe optique.
Cas de la loupe : objet entre F et O
Lorsque l’objet est entre le foyer objet \(F\) et le centre optique \(O\), les rayons émergents ne se croisent pas réellement après la lentille. Leurs prolongements se croisent du côté de l’objet : l’image est virtuelle, droite et agrandie.
📐 V. Relations de calcul
1. Relation de conjugaison
Les distances \(\overline{OA}\), \(\overline{OA’}\) et \(f’\) sont algébriques. En général, si l’objet réel est à gauche de la lentille, \(\overline{OA}<0\).
2. Grandissement
| Signe / valeur | Interprétation |
|---|---|
| \(\gamma<0\) | image renversée |
| \(\gamma>0\) | image droite |
| \(|\gamma|>1\) | image agrandie |
| \(|\gamma|<1\) | image réduite |
3. Méthode imposée pour les corrections
🧪 VI. Exercices types intégrés au cours
1. Calculer une vergence
Calculer la vergence d’une lentille convergente qui possède une distance focale \(f’=25\,\text{cm}\).
Formule du cours :
Conversion : \(f’=25\,\text{cm}=0{,}25\,\text{m}\).
Application numérique : \(C=\dfrac{1}{0{,}25}=4{,}0\,\delta\).
Résultat : \(C=4{,}0\,\delta\).
2. Trouver une distance focale
Une lentille possède une vergence \(C=20\,\delta\). Calculer \(f’\).
Formule du cours :
On transforme : \(C\times f’=1\), donc \(f’=\dfrac{1}{C}\).
Application : \(f’=\dfrac{1}{20}=0{,}050\,\text{m}=5{,}0\,\text{cm}\).
Résultat : \(f’=5{,}0\,\text{cm}\).
3. Relation de conjugaison : calculer la position de l’image
On place un objet à \(\overline{OA}=-44{,}5\,\text{cm}\) d’une lentille convergente de distance focale \(f’=20\,\text{cm}\). Calculer \(\overline{OA’}\).
Formule du cours :
On isole \(\overline{OA’}\) :
\[\dfrac{1}{\overline{OA’}}=\dfrac{1}{f’}+\dfrac{1}{\overline{OA}}\]
\[\overline{OA’}=\dfrac{f’\times\overline{OA}}{\overline{OA}+f’}\]
Application : \(\overline{OA’}=\dfrac{20\times(-44{,}5)}{-44{,}5+20}=36{,}3\,\text{cm}\).
Résultat : \(\overline{OA’}=+36{,}3\,\text{cm}\). Image réelle.
4. Grandissement et taille de l’image
Dans l’exercice précédent, l’objet mesure \(AB=1{,}0\,\text{cm}\). Calculer \(\gamma\), puis \(A’B’\).
Formule du cours :
Calcul du grandissement : \(\gamma=\dfrac{36{,}3}{-44{,}5}=-0{,}82\).
On transforme pour trouver la taille : \(\overline{A’B’}=\gamma\times\overline{AB}\).
Application : \(\overline{A’B’}=-0{,}82\times1{,}0=-0{,}82\,\text{cm}\).
Résultat : image renversée et réduite, de taille \(0{,}82\,\text{cm}\).
5. Vérifier une relation de conjugaison
Pour quatre configurations, on mesure \(\overline{OA}\) et \(\overline{OA’}\). Compléter mentalement la colonne \(\frac{1}{\overline{OA’}}-\frac{1}{\overline{OA}}\) et conclure.
| Exp. | \(\overline{OA}\) (m) | \(\overline{OA’}\) (m) | Conclusion |
|---|---|---|---|
| 1 | -0,30 | 0,628 | proche de 4,9 à 5,0 |
| 2 | -0,432 | 0,391 | proche de 4,9 à 5,0 |
| 3 | -0,50 | 0,34 | proche de 4,9 à 5,0 |
| 4 | -0,26 | 0,934 | proche de 4,9 à 5,0 |
Conclusion : on vérifie expérimentalement que \(\frac{1}{\overline{OA’}}-\frac{1}{\overline{OA}}=C\), avec une vergence proche de \(5\,\delta\).
🎓 VII. Projection type bac / sujet guidé
Contexte : réglage d’un vidéoprojecteur de classe
Un vidéoprojecteur utilise une lentille convergente assimilée à une lentille mince de distance focale \(f’=5{,}0\,\text{cm}\). Une diapositive de hauteur \(AB=1{,}8\,\text{cm}\) est placée à \(\overline{OA}=-5{,}4\,\text{cm}\) de la lentille.
- Calculer la vergence de la lentille.
- À l’aide de la relation de conjugaison, calculer la position de l’image \(\overline{OA’}\).
- Calculer le grandissement \(\gamma\).
- En déduire la hauteur de l’image projetée sur l’écran.
- Préciser si l’image est réelle/virtuelle, droite/renversée, agrandie/réduite.
Correction complète
1. \(C=1/f’=1/0{,}050=20\,\delta\).
2. Formule : \(\frac{1}{\overline{OA’}}-\frac{1}{\overline{OA}}=\frac{1}{f’}\). Donc \(\frac{1}{\overline{OA’}}=\frac{1}{f’}+\frac{1}{\overline{OA}}\). Avec les mètres : \(\frac{1}{\overline{OA’}}=\frac{1}{0{,}050}+\frac{1}{-0{,}054}=20-18{,}52=1{,}48\), donc \(\overline{OA’}=0{,}675\,\text{m}\).
3. \(\gamma=\frac{0{,}675}{-0{,}054}=-12{,}5\).
4. \(A’B’=\gamma\times AB=-12{,}5\times1{,}8=-22{,}5\,\text{cm}\).
5. L’image est réelle, renversée et agrandie.
Exercice contextualisé local : appareil photo au lagon
Un appareil photo utilise une lentille convergente. Pour photographier une pirogue éloignée, l’objet est considéré à l’infini. L’image se forme alors dans le plan focal image. La distance entre la lentille et le capteur est \(4{,}0\,\text{cm}\).
- Identifier \(f’\).
- Calculer la vergence.
- Expliquer pourquoi la mise au point consiste à déplacer la lentille ou le capteur.
⚡ Fiche mémo
Modèle de l’œil
Rétine = écran
Iris + pupille = diaphragme
Cristallin = lentille convergente
Lentilles
Convergente : épaisse au centre, grossit, \(C>0\).
Divergente : fine au centre, réduit, \(C<0\).
Formules
\(C=1/f’\)
\(\frac{1}{\overline{OA’}}-\frac{1}{\overline{OA}}=\frac{1}{f’}\)
\(\gamma=\frac{\overline{A’B’}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{OA’}}{\overline{OA}}\)
✅ Petites questions de définition
1. Dans le modèle réduit de l’œil, la rétine correspond :
2. Une lentille convergente est :
3. La vergence s’exprime en :
4. Si \(\gamma<0\), l'image est :
5. Le rayon qui passe par le centre optique :