La démographie

Chapitre 6
Les modèles démographiques

Comprendre comment une population évolue, choisir un modèle mathématique adapté, faire des prévisions et discuter les limites d’un modèle.

Suite arithmétiqueSuite géométriqueModèle de MalthusPrévision et esprit critique
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I — Démographie

La démographie, c’est l’étude de la population d’un pays, d’une espèce et de ses variations.

L’objectif est d’analyser les données des années passées. On construit des graphiques, puis on compare graphiquement aux différents modèles mathématiques.

Puis on pourra identifier le modèle fiable et l’utiliser pour prévoir l’évolution de la population dans le futur.
Donnéespopulation, annéesGraphiquenuage de pointsModèlelinéaire ou expoPrévoirfutur

II — Modèle linéaire : suite arithmétique

Dans ce modèle, on suppose que l’accroissement est constant.

Cela signifie que la population augmente ou diminue toujours de la même valeur.

On utilise une suite arithmétique.

un = u0 + n × q

où :

  • un : population au bout de n années ;
  • u0 : population initiale ;
  • n : nombre d’années ;
  • q : raison de la suite, c’est-à-dire l’accroissement annuel.
tempspopulationdroitepasséfutur
Si l’évolution suit un modèle linéaire, alors la représentation graphique est une droite.
Exemple :
Une population initiale vaut u0 = 10 000 habitants. Elle augmente de 100 habitants par an.

u10 = 10 000 + 10 × 100 = 11 000 habitants

III — Modèle exponentiel : suite géométrique

Dans ce modèle, on suppose que d’une année à l’autre, le taux d’accroissement est constant.

On multiplie chaque année par un facteur constant.

On utilise une suite géométrique.

un+1 = un × q
un = u0 × qn

où :

  • un : population au bout de n années ;
  • u0 : population initiale ;
  • q : raison de la suite ;
  • q = 1 + taux d’accroissement si la population augmente.
Exemple :
Si une population augmente de 10 % par an :
q = 1 + 10/100 = 1,10
On multiplie chaque année par 1,10.
Remarque :
Si la population diminue de 10 % :
q = 1 – 10/100 = 0,90
tempspopulationcourbe exponentiellepasséfutur
Si l’évolution suit un modèle exponentiel, alors la représentation graphique n’est pas une droite : c’est une courbe qui accélère.

IV — Le taux d’accroissement

Le taux d’accroissement dépend de plusieurs paramètres.

Taux de natalité
Nombre de naissances rapporté à la population.
Taux de mortalité
Nombre de morts rapporté à la population.
Taux d’immigration
Entrées dans le territoire.
Taux d’émigration
Sorties du territoire.
t = TN – TM + TI – TE

Ce taux permet de savoir si une population augmente ou diminue.

Tant que TN > TM, si les migrations ne compensent pas, la population augmente.

V — Modèle de Malthus

Malthus, au XVIIIe siècle, prévoyait :

  • une augmentation exponentielle de la population ;
  • une augmentation linéaire de la production des ressources alimentaires.
ressources : linéairepopulation : exponentiellerisque de dépassement
Le modèle de Malthus peut conduire à des perspectives dramatiques : famine, car la population pourrait dépasser les ressources disponibles.

Mais dans la réalité, l’industrialisation et le développement technologique ont permis d’augmenter massivement la production alimentaire. La population a donc continué à croître.

Toutefois, les modèles actuels les plus précis prévoient une population d’environ 10 milliards d’humains vers 2050.

Le modèle de Malthus et ses conséquences dramatiques sont discutables, puisqu’ils se réduisent d’actualité humaine. Un modèle peut être utile, mais il faut toujours discuter ses limites.

Ce qu’il faut savoir faire dans ce chapitre

À partir de données démographiques, calculer des variations absolues par unité de temps.

Calculer des variations relatives, c’est-à-dire des taux d’évolution.

Choisir entre un modèle linéaire et un modèle exponentiel.

Utiliser le modèle de Malthus pour prévoir l’effectif d’une population.

Calculer un temps de doublement avec une calculatrice ou un tableur.

Comparer les valeurs prévues par un modèle avec des données réelles pour tester sa validité.

Reconnaître les modèles grâce aux graphiques

En contrôle, il faut souvent reconnaître le modèle à partir d’un nuage de points. On ne te donne pas toujours directement la formule. Il faut observer la forme du graphique.

Modèle linéaire

Les points sont presque alignés. La population augmente toujours à peu près de la même quantité.

un = u0 + n × q

Modèle exponentiel

Les points forment une courbe. La population augmente de plus en plus vite car on multiplie par le même facteur.

un = u0 × qn
Graphique A — Nuage de points compatible avec un modèle linéaire
annéespopulationdroite de tendance→ modèle linéaire
données observéesdroite de tendance
Questions rapides
  1. Les points sont-ils plutôt alignés ou courbés ?
  2. Le modèle adapté est-il linéaire ou exponentiel ?
  3. Quelle formule faut-il utiliser pour calculer un ?
Graphique B — Nuage de points compatible avec un modèle exponentiel
annéespopulationcourbe de tendance→ modèle exponentiel
données observéescourbe exponentielle
Questions rapides
  1. Les points sont-ils plutôt alignés ou courbés ?
  2. Le modèle adapté est-il linéaire ou exponentiel ?
  3. Quelle formule faut-il utiliser pour calculer un ?
Erreur classique : croire que toute augmentation est linéaire. Si la population augmente de 2 % par an, elle n’ajoute pas chaque année le même nombre d’habitants : elle est multipliée chaque année par le même facteur. C’est donc un modèle exponentiel.

Documents à analyser

Document 1 — Données simulées : croissance linéaire

On observe une population qui augmente chaque année d’environ 500 habitants.

tempspopulationdroite
Questions
  1. La variation absolue semble-t-elle constante ?
  2. Le modèle adapté est-il linéaire ou exponentiel ?
  3. Écris la formule générale permettant de prévoir la population.
  4. Si u0 = 12 000 et q = 500, calcule u8.

Document 2 — Données simulées : croissance exponentielle

On observe une population qui augmente d’environ 8 % par an.

tempspopulationcourbe
Questions
  1. La variation absolue semble-t-elle constante ?
  2. Le taux d’évolution semble-t-il constant ?
  3. Le modèle adapté est-il linéaire ou exponentiel ?
  4. Si u0 = 20 000 et q = 1,08, calcule u5.

Document 3 — Population mondiale : données réelles arrondies

Données arrondies à partir des estimations historiques et projections démographiques internationales.

annéepopulation mondiale1950197019902010202020302050croissance non linéaire
Questions
  1. Le nuage de points ressemble-t-il davantage à une droite ou à une courbe ?
  2. Peut-on utiliser un modèle exponentiel sur une courte durée ?
  3. Pourquoi ce modèle devient-il discutable sur une très longue durée ?
  4. À quoi servent les projections démographiques ?

Document 4 — Modèle de Malthus : population et ressources alimentaires

Le modèle de Malthus compare deux évolutions : la population peut augmenter de façon exponentielle tandis que les ressources augmenteraient de façon linéaire.

ressources : linéairepopulation : exponentiellecroisement possibletemps
Questions
  1. Quelle courbe représente la population ? Quelle courbe représente les ressources ?
  2. Que signifie le point de croisement ?
  3. Pourquoi le modèle de Malthus peut-il conduire à des perspectives dramatiques ?
  4. Pourquoi ce modèle est-il trop simple pour décrire toute l’histoire humaine ?

Exercices d’entraînement

Exercice 1 — Modèle linéaire

Une commune compte 8 500 habitants en 2020. Elle gagne environ 120 habitants par an.

  1. Quel modèle peut-on utiliser ?
  2. Écris la formule de un.
  3. Prévois la population en 2030.
  4. Explique pourquoi cette prévision peut devenir fausse à long terme.

Exercice 2 — Modèle exponentiel

Une population de 50 000 habitants augmente de 2 % par an.

  1. Quelle est la raison q de la suite géométrique ?
  2. Écris la formule de un.
  3. Calcule la population au bout de 10 ans.
  4. La population augmente-t-elle chaque année du même nombre d’habitants ? Justifie.

Exercice 3 — Choisir le bon modèle à partir de deux graphiques

On observe deux populations A et B. Les données sont représentées ci-dessous.

Population A
temps
Population B
temps
  1. Pour chaque graphique, identifie le modèle le plus adapté.
  2. Écris la formule de un pour la population A.
  3. Écris la formule de un pour la population B.
  4. Explique la différence entre “ajouter la même quantité” et “multiplier par le même facteur”.

Exercice 4 — Modèle de Malthus

Dans un pays, le taux de natalité vaut 3,0 %, le taux de mortalité vaut 1,1 %, le taux d’immigration vaut 0,4 % et le taux d’émigration vaut 0,2 %.

  1. Calcule le taux d’accroissement global.
  2. La population augmente-t-elle ou diminue-t-elle ?
  3. Si la population initiale est de 2 millions d’habitants, calcule la population au bout d’un an.
  4. Explique le lien avec le modèle de Malthus.

Exercice 5 — Temps de doublement

Une population augmente de 1 % par an. On cherche au bout de combien d’années elle double.

  1. Écris l’inéquation à résoudre : u0 × 1,01n ≥ 2u0.
  2. Simplifie cette inéquation.
  3. À l’aide d’une calculatrice ou d’un tableur, trouve une valeur approchée de n.
  4. Compare avec une population qui augmente de 2 % par an.

Exercice 6 — Critiquer une prévision

Un modèle prévoit qu’une ville de 100 000 habitants atteindra 300 000 habitants dans 40 ans.

  1. Quelles informations faudrait-il vérifier avant de faire confiance au modèle ?
  2. Cite trois facteurs qui peuvent rendre cette prévision fausse.
  3. Rédige une réponse argumentée de 8 à 10 lignes.

Bilan à retenir

Modèle linéaire
un = u0 + n × q

On ajoute toujours la même quantité. Le nuage de points ressemble à une droite.

Modèle exponentiel
un = u0 × qn

On multiplie toujours par le même facteur. Le nuage de points forme une courbe qui accélère.

La démographie étudie l’évolution des populations. Pour prévoir une population future, on utilise des modèles mathématiques.

Dans un modèle linéaire, la population augmente ou diminue toujours de la même valeur. La courbe obtenue est une droite.

Dans un modèle exponentiel, le taux d’accroissement est constant. On multiplie chaque année par un même facteur.

Le modèle de Malthus oppose une population qui peut croître exponentiellement et des ressources qui augmenteraient plus lentement.

Un modèle est utile pour comprendre et prévoir, mais il faut toujours discuter ses limites, car la réalité dépend de nombreux paramètres : natalité, mortalité, migrations, économie, santé, guerres, climat et progrès techniques.

Phrase essentielle : un modèle n’est pas la réalité ; c’est un outil pour raisonner sur la réalité.

Sources utilisées pour les données

  • Nations Unies — World Population Prospects 2024, projections mondiales.
  • INED — résumé des projections des Nations Unies 2024.
  • INSEE — estimations de population française au 1er janvier.
  • Banque mondiale — indicateurs de croissance démographique.

Les données sont volontairement arrondies pour faciliter les calculs et le raisonnement en classe.

Document élève — Enseignement scientifique terminale — Chapitre 6 : Les modèles démographiques.